Transformaciones Lineales-Álgebra Lineal

5. Transformaciones Lineales

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝, 1. T (u+v)= Tu+Tv 2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones: inyectividad, suryectividad y biyectividad. 

5.1 Definición

Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Álgebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximar localmente funciones.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a 1843, cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones inspirado en los números complejos;​ y a 1844, cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).

5.2 Núcleo e imagen

1. Objetivo. Definir el núcleo y la imagen de una transformación lineal, ver la relación con las propiedades inyectiva y sobreyectiva.

2. Requisitos: transformación lineal, nociones generales de una aplicación, imagen de un conjunto bajo una aplicación, preimagen de un conjunto bajo una aplicación.

3. Definición (imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T: im (T) := {y ∈ W : ∃x ∈ V tal que y = T(x)}.

4. Definición (núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la preimagen completa del vector nulo: ker(T) := {x ∈ V : T(x) = 0}.

5. Proposición (núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F, T ∈ L (V, W). Entonces ker(T) es un subespacio de V.

6. Proposición (imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del condominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F, T ∈ L (V, W). Entonces im(T) es un subespacio de W.

7. Ejemplo (transformación nula). La transformación nula 0: V → W está definida mediante la fórmula 0(v) = 0W ∀v ∈ V. Es fácil ver que ker (0) = V, im (0) = {0W}.

8. Ejemplo (transformación identidad). La transformación identidad I: V → V está definida mediante la formula I(v) = v ∀v ∈ V. Obviamente ker(I) = {0}, im(I) = V.

9. Ejemplo (transformación D). Consideremos el operador D: Poln(R) → Poln(R),  = f 0. Entonces im(A) = Poln−1(F), ker(A) = Pol0(F).

10. Ejemplo (proyección en V 2 (O)). Sea P el operador de proyección sobre `1 paralelamente a `2. Entonces ker(P) = `2, im(P) = `1.

Ejemplo:

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5.3 Representación matricial

Una representación matricial es la manera en que los pixeles se distribuyen en una maya, esto aplica en las imágenes y figuras geométricas y es un principio básico del software para la manipulación de los mismos , esto nos permite también aplicar colores, este tipo de representación facilita el uso de fórmulas para poder aplicar las transformaciones geométricas, las cuales son dependientes de fórmulas para poder actuar y modificar nuestros gráficos, es importante saber esto para poder comprender el comportamiento de las imágenes.

Su definición Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente, y sea T: V→W una transformación lineal, entonces existe una matriz A de orden m × n llamada matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T(v) = Av para toda v en V.

Representación Matricial de una transformación R³ en R⁴

Si se tiene una transformación T: R³→ R⁴ dada por:

La T representa la transformación, que será representada por A_T, mientras que la matriz a su lado representa el vector original. El resultado es la transformación realizada. Para poder representarla de forma matricial lo que se debe obtener es la matriz de transformación. Ya que a la vez se obtiene, se pueden determinar otros datos como el núcleo y la imagen de la transformación.

Para este caso utilizando el resultado de la transformación, se puede determinar fácilmente la matriz de transformación, separando el vector original y determinando las operaciones que se realizaron.;

Y su representación quedaría como la matriz de trasformación multiplicando al vector original para dar como resultado a la transformación:

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5.4 Aplicación (reflexión, dilatación, contracción y rotación).

Reflexión.
Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, la llamamos reflexión del conjunto de puntos dados. También se realiza con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.

Dilatación.
Al igual que en la reflexión, se pueden expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).

Contracción.
La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).

Rotación.
El término rotación tiene dos significados, pues la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.

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Elaborado por:

Jazmin Esmeralda Pérez Cervantes

Mario Alberto Guerreo Hernández

Edgar Porras Pacheco

Jorge Alessandro Sauceda Gómez.

Ingeniería Industrial.